А. Н. Чуйко, А. В. Маргвелашвили
Предлагаемое исследование является логическим продолжением статей [1, 2], в которых рассмотрены особенности анатомии и биомеханики нижней челюсти (НЧ), разработана ее расчетная схема с классификацией нагрузок и внутренних сил, а также проведен анализ основных геометрических характеристик сечений челюсти, что позволяет перейти к решению конкретных задач.
В известной нам литературе [3, 4, 5], как правило, рассматривается только процесс откусывания пищи на примере рычага второго рода. Но уже в работе [1] показано, что биомеханика процессов откусывания и жевания существенно различается. Кроме того, на наш взгляд, интересен не только качественный анализ по полученным аналитическим зависимостям, но и сравнительный анализ, доведенный до конкретного числа.
Рассмотрим каждый из процессов — откусывания и жевания последовательно.
В процессе откусывания (при включении двух передних резцов) НЧ можно представить в виде симметричной рамы с симметричным действием жевательной нагрузки, что позволяет рассматривать только половину системы.
Схема нижней челюсти в виде пространственной рамы, представленная на рис. 3 [1], является механизмом, т.е. она может свободно вращаться вокруг шарнира, до возникновения какого-либо ограничения. В рассматриваемом случае ограничителем движения может являться любой зуб-антагонист, который вступает в контакт с рассматриваемым зубом либо непосредственно, либо через пищевой комок.
В случае откусывания, частично следуя работе [1], представим нижнюю челюсть в виде плоской рамы (рис. 1), с основными параметрами, необходимыми для дальнейших рассуждений и вычислений. На рис. 1 обозначено: lв — расстояние от наружной кромки фронтальной части до угла ветви челюсти; hв — высота ветви челюсти; βв — угол отклонения ветви челюсти от вертикали. Распределенную нагрузку от жевательных мышц (q1 и q2 в соответствии с рис. 1 [2]) приведем к статически эквивалентной сосредоточенной силе F, которую, с целью некоторого упрощения, приложим к углу челюсти. Угол βF показывает величину отклонения силы жевательных мышц от вертикали.
Суставная головка челюсти является классическим шарниром, как по анатомии, так и по особенностям «работы». До контакта с зубом-антагонистом НЧ может рассматриваться как простейший рычажный механизм. При наличии ограничения движения в зоне резцов — это плоская статически определимая рама, шарнирно опирающаяся в двух точках: в зоне суставной головки и в зоне резцов, что схематически отражено на рис. 1 в виде неподвижного и подвижного шарниров. Реакция, возникающая в неподвижном шарнире, может быть представлена в виде двух компонент (например, горизонтальной и вертикальной, либо поперечной Rпоп и продольной Rпр), а в подвижном шарнире в виде одной составляющей Rф, по правилу разложения векторов.
В отличие от работы [5], наиболее целесообразно в качестве внешней силы принимать величину жевательной нагрузки F, функциями от которой будут и реакции в опорах и внутренние силовые факторы в сечениях челюсти. Для удобства последующего анализа разложим жевательную нагрузку F на две составляющие: горизонтальную Fг и вертикальную Fв, которые соответственно равны
|
Составляя уравнения равновесия на оси x и y, получим
 |
В выражениях (2) и (3) приняты обозначения
 |
Отметим, что Rф и представляет собой силу откусывания или силу прикуса резцов.
Далее, можно определить величину реакции в суставной головке и угол ее наклона к вертикали
 |
Проекции реакции в суставной головке R на продольную и поперечную ось ветви челюсти можно определить по формулам
 |
Именно эти реакции будут вызывать продольные и поперечные внутренние силы в ветви челюсти, т.е.
Максимальный изгибающий момент (в угле челюсти для схемы, представленной на рис. 1)
 |
 |
Рис. 1. Расчетная схема нижней челюсти в процессе откусывания |
Формулы (1–8) позволяют получить все компоненты жевательной нагрузки, реакций в головке и внутренних сил в произвольном сечении челюсти при любом значении силы F и геометрических параметрах челюсти.
Пример 1. Рассмотрим челюсть с геометрическими размерами lв = 90 мм; hв = 74 мм и βв= 15°. Примем угол действия жевательной силы βF = 30°, величину жевательной силы F = 142 Н. Эта величина силы F, в соответствии с формулой (3) и принятыми геометрическими параметрами челюсти, дает величину силы прикуса Rф = 70 Н, что соответствует величине функциональной нагрузки для резца по Rus [6].
Эпюры внутренних силовых факторов N, Q и M, рассчитанных по формулам (7) и (8), представлены соответственно на рис. 2.
 |
Рис. 2. Эпюры внутренних силовых факторов N, Q и M |
Предварительный анализ полученных эпюр показывает, что тело челюсти «работает» на сдвиг и изгиб, а ветвь челюсти — на сжатие, сдвиг и изгиб.
Для оценки прочности НЧ необходимо знать геометрические характеристики сечений, методика расчета которых изложена в работе [2]. Предположим, что характерное поперечное сечение челюсти имеет форму близкую к эллипсу, с размерами aк=30 мм; aг=26 мм; bк=15 мм и bг=12 мм. Смещение центров тяжести эллипсов, ограничивающих компактную и губчатую кость равно yг=1 мм.
Площади поперечных сечений и моментов инерции соответствующих компонентов кости по внешнему контуру определим по формулам (4) работы [2]:
 |
Истинная площадь и момент инерции компактной кости, как оболочки, определим как разность соответствующих геометрических характеристик.
 |
Вначале определим положение центра тяжести компактной кости, как однородной изолированной оболочки, с помощью соотношения (1) работы [2]:
 |
Положение центра тяжести сечения yc вычислим также с помощью соотношения (1) работы [2], приняв коэффициент редукции φ=0,5
 |
Здесь уже учтена редуцированная площадь поперечного сечения челюсти, которая равна
 |
Момент инерции сечения относительно поперечной центральной оси определим по формуле (3) работы [2]
Здесь учтено, что сk = 1,73 мм и сг = 1,53 мм — расстояния от центра тяжести совокупного сечения до центров тяжести компонентов — компактной кости и губчатой кости.
Таким образом, нами подготовлены необходимые исходные данные для анализа прочности челюсти.
Действующие напряжения в ветви челюсти от сжатия и сдвига определим по общеизвестным формулам
 |
Напряжения от изгиба определим по формуле
 |
Сравнение этих численных значений напряжений от сжатия, сдвига и изгиба подтверждает принятое выше, на основе аналитических зависимостей, допущение о существенно меньших напряжениях от сжатия и сдвига по отношению к напряжениям от изгиба.
Если принять в соответствии с табл. 1.3.6 работы [6], что травмирующие напряжения лежат в диапазоне σТ = 50…400 МПа, то, при нижнем пределе этой величины, получим значение коэффициента запаса прочности
 |
Таким образом, получен не только качественный, но и количественный вывод — запас прочности нижней челюсти в норме при откусывании, в зависимости от состояния кости конкретного пациента, лежит в пределах 14,9–138.
В качестве контрольной цифры можно запомнить, что в норме при откусывании пищи коэффициент запаса прочности челюсти равен 15. Такой вывод в известной нам литературе отсутствует.
|
|
||
|
|
В работе [1], на упрощенной модели челюсти в виде прямой балки, показано, что биомеханика процессов откусывания и жевания существенно различается. Кроме того, на наш взгляд, как и раньше для процесса откусывания, интересен не только качественный анализ, по полученным аналитическим зависимостям, но и сравнительный анализ, доведенный до конкретного числа.
В последовательности, аналогичной процессу откусывания, рассмотрим и процесс жевания пищи.
Как отмечалось выше, схема нижней челюсти в виде пространственной рамы, представленная на рис. 3 [1], является механизмом, т.е. она может свободно вращаться вокруг шарнира, до возникновения какого-либо ограничения. По-прежнему ограничителем движения может являться любой зуб-антагонист, который вступает в контакт с рассматриваемым зубом либо непосредственно, либо через пищевой комок. В процессе жевания таким зубом, в первую очередь, может быть первый моляр — наиболее мощный из многокорневых зубов. Расчетная схема, соответствующая процессу жевания при контакте двух челюстей через первый правый моляр показана на рис. 3.
На схеме условно (в виде стрелок) показаны жевательная нагрузка F и реакции в левой и правой головках челюсти и в первом правом моляре. Так как челюсть — это пространственная рама, представляющая собой совокупность жестко соединенных балок, в этом случае, мы имеем статически неопределимую систему. Ее решение, т.е. раскрытие статической неопределимости, производится с помощью специальных приемов, один из которых заключается в условном «отбрасывании» «лишней» связи и замене ее «лишней» неизвестной.
Так как задача достаточно сложная, несколько упростим ее, воспользовавшись приемом, рассмотренным в [1], условно вытянув «челюсть-раму» в одну линию (рис. 4). Отбросив связь в левой головке челюсти, мы получаем систему, аналогичную рассмотренной ранее (при анализе процесса откусывания), но с другими расстояниями между опорами (рис. 4 (а)). Расстояние между углом челюсти и новой опорой — первым моляром — значительно меньше, чем ранее учитываемое расстояние до резца. Для упрощения формы записи примем обозначения: a = hгв — проекция ветви челюсти на горизонтальную ось; b — расстояние между углом челюсти и первым моляром; c — расстояние между первым моляром и левой суставной головкой. Обозначим также l = a+b.
После условного «отбрасывания» опоры в левой головке челюсти задача упрощается, так как становится статически определимой. Схема, представленная на рис. 4, (б), называется «основной» системой. При действии вертикальной компоненты жевательной нагрузки Fв, в левой и правой опорах возникают реакции, которые соответственно равны
 |
Максимальное значение изгибающего момента в «основной» системе
 |
Под действием этого момента челюсть (балка) начинает изгибаться, как схематически показано на рис. 4 (б). Перемещение «освобожденного» конца балки (левой суставной головки) ΔF в заданной системе (рис. 4 (а)) отсутствует. Условие отсутствия этого перемещения и отражает каноническое уравнение
 |
где δ — перемещение конца балки под действием единичной силы;
X — «лишняя» неизвестная, величина которой соответствует усилию в суставной головке при отсутствии ее перемещения;
ΔF — перемещение «освобожденного» конца балки (левой суставной головки).
 |
Рис. 5. Основные эпюры изгибающих Мизг и крутящих моментов Мкр, возникающие |
Для определения «лишней» неизвестной X необходимо определить коэффициенты канонического уравнения, что является достаточно сложной задачей. Челюсть (пространственная рама) при одностороннем жевании будет испытывать «сложное сопротивление», выражающееся в изгибе, в основном, левой и правой части тела челюсти совместно с их ветвями и кручении, в основном, фронтальной части челюсти. Эту особенность «работы» фронтальной части челюсти рассмотрим более подробно.
Так как фронтальная часть челюсти ориентирована относительно ее боковых частей практически перпендикулярно (рис. 3), то изгиб, под действием жевательной нагрузки, правой и левой частей челюсти может передаваться справа налево только за счет кручения ее фронтальной части, как это схематически показано на рис. 5. Подчеркнем, что на рис. 5 показаны только основные эпюры, раскрывающие механизм кручения фронтальной части.
Величина крутящего момента Мкр определяется произведением усилия в левой суставной головке X на плечо действия этой силы, т.е. расстоянием между левым суставом и началом фронтальной части челюсти. Отметим, как это следует из исследования решения таких задач в технике, на кручение хорошо «работают» — т.е. воспринимают такой вид нагрузки — замкнутые контуры. Возникает вопрос: насколько фронтальная часть челюсти, особенно, в случае удаления зубов, может быть представлена как замкнутый контур? Возможно, в процессе эволюции, фронтальная часть челюсти и приобрела характерный массивный профиль из-за необходимости воспринимать не только изгибающий, но и крутящий момент.
Подчеркнем, что факт «работы» фронтальной части нижней челюсти на кручение при одностороннем жевании в известной нам литературе не обсуждался. Он выявлен только при рассмотрении челюсти в виде пространственной рамы.
Далее приведем некоторые цифровые параметры, воспользовавшись данными примера 1.
Пример 2. Примем для челюсти при одностороннем жевании a = =19,8 мм и b = 26 мм, т.е. l = a+b =19.8 + 26 = 45,8 мм. При этих параметрах
 |
Реакция в правой опоре (месте контакта первого моляра с зубом- антагонистом)
 |
Но, как известно по Rus [6], усилие в первом моляре может достигать 300 Н. Из последнего соотношения следует, что для развития такого усилия вертикальная компонента жевательной нагрузки равна
 |
а усилие, развиваемое жевательной мышцей
 |
Интересно отметить, что по отношению к случаю откусывания пищи (пример 1) сила, развиваемая жевательной мышцей, возросла в
 |
Изгибающий момент, возникающий при такой жевательной нагрузке
 |
Так как определение MX задача достаточно сложная, но снижает максимальный момент незначительно, ограничимся, в первом приближении определением момента
 |
Итак, при одностороннем жевании максимальный изгибающий момент несколько меньше, чем полученное значение 7805,2 Нм, что соизмеримо с моментом при откусывании, равным 6300 Нм.
Таким образом, получен важный для практических приложений вывод. Несмотря на то, что при разжевывании пищи сила, развиваемая жевательной мышцей, более чем в 5 раз превышает силу при откусывании, изгибающие моменты, возникающие в теле нижней челюсти, практически не изменяются (из-за изменения плеч передачи нагрузки). В этом, можно предполагать, и состоит «мудрость» эволюции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чуйко А. Н., Калиновский Д. К., Матрос-Таранец И. Н., Дуфаш И. Х. Особенности биомеханики нижней челюсти в процессе жевания. Стоматолог. Харьков. — 2006, № 3, с. 40–44.
2. Чуйко А. Н., Матрос-Таранец И. Н., Вовк В. Е., Маргвелашвили А. В. О расчетной схеме нижней челюсти человека как объекта исследования в биомеханике. Стоматолог. Харьков, — 2008. № 11, с. 50–55.
3. Воробьев В. П. Анатомия человека. М: Госмедиздат, 1932, т.1, с. 383–394.
4. Бусыгин А. Т., Строение челюстных костей. — Ташкент: Медгиз УССР, 1962.
5. Семенников В. И., Тюманюк А. Н. Метод механико-математического исследования усилий и напряжений в нижней челюсти при физиологической нагрузке//Стоматология. — 1983. — № 3. — С. 23–25.
6. Чуйко А. Н., Вовк В. Е. Особенности биомеханики в стоматологии: Монография. — Х.: Прапор, 2006. — 304 с.
