Оси зуба. Что это такое?
Трехмерная система координат зуба

Научная информация, представляемая на страницах учебников, монографий и журналов, воспринимается и  усваивается легко и быстро, если она подана в виде плоских рисунков, схем и графиков. Однако большинство реальных объектов имеют объем, и для их восприятия необходимо прибегать к трехмерному (объемному) представлению или, говоря современным языком, ориентированным на использование компьютерных технологий, трехмерному моделированию (3D-моделирование). Основой такого моделирования является создание трехмерных систем координат разного типа и уровня, по отношению к отдельным частям рассматриваемого объекта. Отметим, что без создания глобальной (общей, базисной) и локальных (местных) систем координат невозможно проектирование и создание ни одного технического проекта: автомобиля, самолета, плотины, здания и т. п. Врач-стоматолог и зубной техник также должны уметь работать и работают практически ежедневно с трехмерными объектами — зубом, мостовидным протезом, брекет-системой и т. п.

Одним из основных понятий при разработке той или иной системы координат является ось системы координат.

Мы часто произносим слова «ось вала», «ось колеса», «ось Земли», даже иногда «ось Берлин—Рим—Токио». В технике [1] ось вращения — это прямая, неподвижная относительно вращающегося вокруг нее твердого тела. В математике ось координат — прямая с указанным на ней направлением, началом отсчета и выбранной масштабной единицей. Обычно оси проводят для тел, обладающих свойством симметрии. Однако одной оси для определения положения любой точки тела в пространстве недостаточно. Для этого используют ту или иную систему координат. Наиболее употребительны три системы координат: 1) декартовы прямоугольные, 2) цилиндрические, 3) сферические. Выбирают ту или иную систему координат в зависимости от характерных геометрических особенностей рассматриваемого объекта. К сожалению, у зуба нет ни одной регулярной поверхности и даже прямой линии. Поэтому, с одной стороны, для зуба не подходит ни одна из существующих систем координат. С другой стороны, невозможно построить, например, конечно-элементную модель зуба, если мы не «привяжем» все точки зуба к какой-либо конкретной системе координат.

В стоматологии [2, 3] также пользуются понятием ось зуба, даже встречаются понятия большая (длинная) ось зуба, хотя ни один зуб не обладает свойством симметрии и трудно представить себе зуб, совершающий вращение (полный оборот) вокруг своей оси (кроме небольших ротационных движений). Раз существует большая (длинная) ось зуба, то должна быть и малая (короткая) ось зуба, но ни в одном известном нам учебнике и монографии таких определений нет. В то же время конкретизация понятия «ось зуба» значительно облегчит описание зуба каждого пациента в зависимости от возраста, пола, расы, вида заболевания и т. п. в сравнении с принятым среднестатистическим (стандартным) значением, его моделирование, например конечно-элементное, и передачу информации в электронном виде.

Рис. 1. Декартовы системы координат: а) правая, б) левая

Рассмотрим более подробно возможность определения положения любой точки зуба в наиболее распространенной декартовой системе координат. Напоминаем [4]: декартовыми прямоугольными координатами точки P называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах некоторого масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что одно и то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая (рис. 1, а) и левая (рис. 1, б) координатные системы. В технических приложениях принята правая система координат. Нам, как будет показано ниже, понадобятся обе системы. Точка пересечения координатных осей называется началом координат. Координаты x, y, z называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Запись P(a, b, c) означает, что точка P имеет координаты x = a, y = b и z = c. Знаки координат зависят от октанта, в котором расположена точка (рис. 2).

Рис. 2. Октанты декартовой системы координат

Вначале рассмотрим возможность построения декартовой прямоугольной системы координат на примере однокорневого зуба.

Очень важным является вопрос о месте расположения начала системы координат. Эта точка в технических приложениях, как правило, располагается в центре тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести (центра масс) однородного твердого тела в теоретической механике разработаны достаточно подробно [5]. Для зуба, представляющего собой слоистую структуру с непрерывно изменяющимися параметрами плотности, эта задача может оказаться достаточно сложной. Но, даже в случае определения положения центра тяжести, система координат, имеющая начало в этой точке, не будет иметь никакой практической ценности. (Более подробно о соотношении понятий «центр тяжести» и «центр жесткости» для зуба см. в работе [6]). Кроме того, точка, соответствующая началу системы координат, должна быть характерной для данного тела и, по возможности, быть стационарной, т. е. не изменять своего месторасположения в процессе всего жизненного цикла. Для зуба характерными можно считать крайнюю точку на режущей кромке зуба (жевательной поверхности), апикальную точку корня и любую точку на шейке зуба. Две первые из названных точек, обладая некоторой определенностью, не отличаются стационарностью своего расположения относительно всей массы зуба. Поэтому система координат, имеющая начало в этих точках, будет очень неудобна в практических приложениях — для «хранения» информации о месте расположения каждой точки зуба и его изменении под влиянием многочисленных внешних и внутренних факторов, определяющих свойства как здорового зуба, так и, тем более, зуба с патологическими отклонениями. К сожалению, на шейке зуба, на наш взгляд, наиболее приемлемом месте расположения начала декартовой системы координат, никаких однозначно определенных точек пока не установлено. Будем считать, что нам удалось мысленно провести ряд вспомогательных плоскостей, перпендикулярных к предварительно проведенной вспомогательной продольной оси зуба, рассекающей зуб в зоне шейки. Здесь мы сталкивается с «вечной» философской проблемой, что первично — курица или яйцо, вспомогательная плоскость или вспомогательная продольная ось. Практически можно рекомендовать начало этого построения производить с помощью оси, проведенной в зоне шейки зуба максимально параллельно сторонам поверхности зуба в этой зоне. (Фактически мы использовали широко применяемый в математике метод последовательных приближений.) Тогда плоскость, соприкасающаяся с нижней точкой контура эмали для зубов нижней челюсти и, аналогично, соприкасающаяся с ерхней точкой контура эмали для зубов верхней челюсти, в дальнейшем будем принимать за базовую плоскость, в которой лежит начало системы координат (рис. 3). Этим мы определили начало системы координат по высоте зуба. Далее необходимо определить место расположения начала системы координат уже в этой плоскости. Здесь также возможны различные подходы: использовать центр тяжести уже проведенного поперечного сечения, центр канала зуба и т. п. Мы считаем наиболее конкретным и практически осуществимым без лишних трудозатрат определять эту точку как среднюю для линии м-д, соединяющую крайние точки в медиально-дистальном направлении, и, аналогично, определять эту точку как среднюю для линии в-л, соединяющую крайние точки в вестибулярно-лингвальном направлении (рис. 3). Таким образом, может быть установлена точка, однозначно определяющая расположение начала декартовой системы координат для любого зуба, которая, в дальнейшем, будет обозначена точкой 0.

Рис. 3. Декартовая система координат для нижнего правого однокорневого зуба (клыка)

Следующим важным шагом, после определения начала системы координат, является однозначное определение положительного направления координатных осей.

Естественно провести одну из осей координат вдоль самого большого размера зуба — его длины (рис. 3 и 4). Такую ось мы в дальнейшем будем называть продольной осью зуба. Это определение, на наш взгляд, лучше отражает и анатомическую сущность и, что не менее важно, соответствует этому понятию в технических приложениях. Мы полагаем естественным определить положительное направление оси снизу вверх для зубов нижней челюсти и, наоборот, сверху вниз для зубов верхней челюсти и обозначить буквой Y, как это показано на рис. 3 и 4 для зубов нижней челюсти. Таким образом, ось 0Y — ось ординат — это продольная ось зуба. Далее мы должны определить положительное направление осей X и Z. Ясно, что эти оси будут лежать в уже определенной базовой плоскости, перпендикулярной к продольной оси зуба. Ось 0X — ось абсцисс — целесообразно направить в медиально-дистальном направлении. Ее положительное направление на данном этапе создания системы координат зуба может быть выбрано произвольно, так как существенных практических обоснований мы предложить не можем. В данном случае положительное направление оси 0X примем в медиально-дистальном направлении так, как это показано на рис. 3 и 4. Следует иметь в виду, что, выбрав положительное направление осей 0X и 0Y, мы автоматически выбираем и направление оси 0Z — оси аппликат. Для правосторонней системы координат (см. рис. 1а) ось 0Z должна быть направлена так, чтобы, глядя с ее положительного направления, движение от положительного направления оси X к положительному направлению оси Y происходило против часовой стрелки. Другими словами, положительное направление оси Z можно определить по правилу правой руки: большой палец направить по направлению оси X, а указательный — по оси Y, тогда изогнутый средний палец укажет положительное направление оси Z. И, наоборот, для левосторонней системы координат (см. рис. 1б) ось 0Z должна быть направлена так, чтобы, глядя с ее положительного направления, движение от положительного направления оси X к положительному направлению оси Y происходило по часовой стрелке (аналогично — по правилу левой руки). Проекции правого клыка нижней челюсти в правосторонней системе координат приведены на рис. 4, а проекции левого второго моляра верхней челюсти в левосторонней системе координат показаны на рис. 5.

Рис. 4. Проекции однокорневого зуба в правой декартовой системе координат

Рис. 5. Проекции левого второго моляра верхней челюсти в левой декартовой системе координат

В дальнейшем мы рекомендуем применять для правой верхней и правой стороны нижней челюсти правостороннюю систему координат, а, соответственно, для левой верхней и левой стороны нижней челюсти левостороннюю систему координат. Следование этой рекомендации приведет к тому, что системы координат для каждого из зубов левой и правой стороны будут обладать свойством симметрии относительно сагиттальной плоскости верхних и нижней челюстей, как это показано на рис. 6. Симметрия будет выражаться в том, что оси 0X и 0Y для каждого зуба соответственно верхних и нижней челюстей будут направлены в одну сторону, а оси 0Z — навстречу друг другу, в вестибулярно-лингвальном направлении.

Характерной особенностью предложенных систем координат является соответствие знаков направлений положительных и отрицательных значений осей координат общепринятым в стоматологии определениям частей и сторон зуба [2, 7]: все точки коронковой части зуба будут иметь положительное значение координаты Y, а большая часть точек корня — отрицательное значение координаты Y; положительному значению координаты X будут соответствовать точки дистальной стороны зуба, а отрицательному значению координаты X — точки медиальной стороны зуба; положительному направлению оси Z будут соответствовать точки лингвальной (оральной, язычной) стороны зуба, а отрицательному направлению оси Z — точки вестибулярной (лабиальной, губной, щечной) стороны.

Таким образом, предлагаемая система координат зуба будет служить как бы дополнительным признаком, характеризующим принадлежность любого конкретного зуба к правой или левой стороне (признак корня, признак угла коронки, признак кривизны корня), к верхней или нижней челюсти (форма коронки, форма и число корней) [9]. Так, все зубы, у которых ось Y направлена вниз, принадлежат верхней челюсти, и, наоборот, все зубы, у которых ось Y направлена вверх, принадлежат нижней челюсти. Все зубы, изображенные в правосторонней системе координат, принадлежат правой верхней и правой стороне нижней челюсти, и, наоборот, все зубы, изображенные в левосторонней системе координат, принадлежат левой верхней и левой стороне нижней челюсти.

Здесь мы вплотную подошли к возможности взаимосвязи предлагаемой системы координат каждого конкретного зуба с одной из общепринятых схем (формул) обозначения зубов. На наш взгляд, среди нескольких существующих схем обозначения зубов [2, 7], наиболее современной, уже приспособленной к компьютерным технологиям, является Международная схема FDI (Federation Dentaire Internationale), введенная в 1970 г. Это простая двухцифровая схема без дополнительных знаков или символов. Пронумерованы поочередно не только отдельные зубы, но и квадранты. Верхний правый квадрант — № 1, верхний левый — № 2, нижний левый — № 3, а нижний правый — № 4. Зубы нумеруются поочередно от срединной линии. Первая цифра обозначает квадрант, вторая — соответствующий зуб.

Обозначая в дальнейшем CS43 (координатная система 43), мы будем иметь в виду, что это система координат, в которой изображен клык правой стороны нижней челюсти. Аналогичные обозначения можно применить к системе координат любого из 32 постоянных зубов человека. Данная система охватывает также молочные зубы, при этом квадранты молочных зубов нумеруются от 5 до 8, а зубы от 1 до 5.

Таким образом, имеется возможность унифицировать в международном масштабе не только схему расположения отдельных зубов в любой глобальной системе координат, например нижней челюсти (рис. 6), но и каждой точки зуба и, как следствие, любой структурной составляющей тканей зуба.

Рис. 6. Оси координат для зубов верхних и нижней челюстей

Отметим далее, что предлагаемая система координат зубов человека вызвана не только обычным в научных исследованиях стремлением к систематизации, а практической необходимостью, возникшей при разработке как объемной модели зуба [10], так и плоской модели зубного ряда [11]. Таким образом, эта система координат имеет не только теоретическое обоснование (см. выше), но и прошла практическую апробацию. Каждый зубочелюстной сегмент, включающий зуб, прилегающие к нему слои периодонта и пародонта, при разработке плоской модели зубного ряда [11] строился в «своей», локальной пронумерованной системе координат. Эта информация размещалась в памяти компьютера в виде отдельного файла. Поэтому последующее построение зубного ряда, с намеченным перечнем зубов или видом дефекта зубного ряда, изменением расположения зуба или его наклона особой сложности не представляло. Начало системы координат для каждого зуба выбиралось произвольно, поэтому при «стыковке» зубочелюстных сегментов каждого зуба в единую плоскую модель возникали некоторые технические сложности. Эта особенность и обусловила необходимость создания унифицированной системы координат для каждого зуба.

Наличие предложенной системы координат, которая, еще раз подчеркнем, не является самоцелью, служит для более успешного построения объемных моделей зубов (например, по Ash [7] или по Harty [8]). При наличии такой системы координат, в которой каждая точка зуба (зубочелюстного сегмента), как на внешней поверхности, так и внутри тела зуба, может быть вычислена с любой, заранее заданной точностью, представляет новые технологические возможности для стоматологов разных специальностей. Наряду с нашедшими широкое применение методами моделирования, открывается возможность использовать целый ряд приемов и средств, получивших развитие в разных отраслях точного и специального машиностроения. Многие операции и работы могут выполняться с машиностроительной точностью.

Рассмотрим кратко некоторые возможности, которые открываются при наличии объемных моделей зубов:

1. Для определения зон безопасности данные специальных таблиц (по Аболмасову Н. Г., Гаврилову Е. И., Клюеву Б. С. и др.) могут быть учтены при построении объемной модели каждого зуба в указанных в таблице зонах, интерполированы для всех точек зуба, а также уточнены, при наличии результатов инструментальных средств контроля.
2. Предварительная подготовка любой операции может проводиться не на фантомной гипсовой диагностической модели, а на объемной модели зуба на экране компьютера.
3. Любой дефект зуба может быть определен как по величине (глубине), так и по топографии его расположения с любой заранее заданной точностью.
4. При формировании полостей для вкладок все размеры могут быть указаны с учетом необходимых допусков. Обычные приемы моделирования могут быть дополнены возможностью точного задания и определения размеров как полости, так и вкладки.
5. Размеры поверхностей коронки, как внешние, так и внутренние, могут быть определены и сопоставлены с размерами объемной модели препарированного зуба.
6. При установке штифтовых зубов объемная модель может быть выполнена как для штифта, так и для его коронки с заданной точностью и допусками.
7. При установке мостовидных протезов подготовка опорных зубов может выполняться с учетом размеров и особенностей окклюзионной поверхности зубного ряда по объемной модели.
8. В ортодонтии места расположения брекетов могут быть указаны с любой заданной точностью, также как и положение каждого зуба на всех этапах ортодонтического лечения.
9. Во всех перечисленных случаях и во многих других, любая объемная модель может быть преобразована в конечно-элементную модель и подвергнута прочностному анализу, так как это указано в ряде работ автора [6, 10, 11, 12], со всеми вытекающими из этого анализа выводами по эффективности выбранной конструкции и послеоперационного состояния зубочелюстного сегмента.

Литература

1. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров; редкол.: А. А. Гусев и др.— изд. 4-е.— М.: Сов. энциклопедия, 1987.— 1600 с., ил.
2. Леманн К., Хельвиг Э. Основы терапевтической и ортопедической стоматологии. Под ред. С. И. Абакарова, В. Ф. Макеева, пер. с нем.— Львов: ГалДент, 1999.— 262 с.— 298 рис.
3. Жулев Е. Н. Несъемные протезы: теория, клиника и лабораторная техника.— Н. Новгород: Изд-во НГМА, 1995.— 365 с., ил.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов.— изд. 7-е.— М.: ГИТТЛ, 1957.— 608 с., ил.
5. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики Изд. 8-е.— М.: Наука, 1972.— 480 с., ил.
6. Чуйко А. Н., Бережная Е. О. Подвижность и податливость зуба. Биомеханический анализ. Стоматолог. Харьков, — 2001.— 4.— С. 15-19.
7. Ash Major M. Wheeler's dental anatomy, physiology and occlusion / Major M. Ash, Jr.— 7th ed. W. B. Saunders Company, USA, 1993.— p. 478.
8. Harty F. Endodonticson clinical practice.— Bristol, 1976.— 236 p.
9. Привес М. Г., Лысенков Н. К., Бушкович В. И. Анатомия человека / Под ред. М. Г. Привеса.— 9 изд.— М.: Медицина, 1985.— 672 с., ил.
10. Сhuiko A. Peculiarities of modeling and analysis of stressedly-deformed condition in elements of tooth-and-jaw system. Proceedings of the 13th Conference of European Society of Biomechanics.— Acta of Bioengineering and Biomechanics.— Volume 4.— Supplement 1.— 2002.— P. 805-806.
11. Чуйко А. Н., Громов О. В. Некоторые практические вопросы биомеханики мостовидных протезов.— Стоматолог.— 2003.— 1.— с. 48-53.
12. Чуйко А. Н., Кузнецов Р. В., Выборный В. Г. О биомеханике мостовидных протезов.— Стоматолог.— 2003.— 3.— с. 51-55.